Les fonctions dans un environnement numérique d’apprentissage : situations d’apprentissage et genèses instrumentales des élèves

Synthèse de la thèse de T.-K. Minh, dirigée par J.-B. Lagrange et soutenue en 2011
jeudi 12 avril 2012

Le travail dont il est rendu compte ici a été effectué dans le cadre d’une thèse de doctorat réalisée sous la direction de Jean-Baptiste Lagrange, soutenue en 2011 et menée dans le cadre du projet ReMath.

Minh, T. K. (2011). Apprentissage des fonctions au lycée avec un environnement logiciel : situations d’apprentissage et genèse instrumentale des élèves. Thèse de doctorat, Université Paris Diderot, disponible à :
http://tel.archives-ouvertes.fr/index.php?halsid=jhpjm7e55u9ne50vvmvudorjf2&view_this_doc=tel-00658680&version=1

par Tran Kiem Minh, 30/03/12

LDAR, Université Paris Diderot

Introduction

Les objectifs du projet ReMath [1] ont été d’étudier les potentialités offertes par des artefacts numériques pour la représentation d’objets mathématiques ainsi que de rendre les recherches sur les TICE plus lisibles au plan international en reliant différents cadres théoriques utilisés et en élaborant des outils et langages communs. Dans le cadre de ce projet, les équipes ont développé six artefacts numériques et treize scénarios pour l’utilisation pédagogique de ces artefacts. Nous avons participé à la conception et l’expérimentation d’un scénario pour l’apprentissage des fonctions avec le logiciel Casyopée.

Le curriculum actuel du lycée postule que des environnements logiciels peuvent contribuer à l’introduction des fonctions à partir d’un cadre géométrique. Dans cette perspective, nous proposons une approche qui considère les fonctions comme modèles de dépendances dans un domaine d’application, et plus précisément dans un cadre géométrique (système physique) utilisé par Falcade et al. (2007). La modélisation fonctionnelle permet de relier ce cadre aux autres cadres et représentations des fonctions.

Notre hypothèse a donc été que les activités fondées sur l’étude des dépendances entre grandeurs ou mesures permettent aux élèves de comprendre les fonctions comme modèles de ces dépendances. Nous situons par ailleurs ces activités dans le cadre d’usages de l’environnement Casyopée intégrant des représentations multiples, géométriques et algébriques, et le calcul formel. Les représentations géométriques constituent le domaine d’application rendant possible une exploration des relations entre objets et entre grandeurs, et l’environnement offre des possibilités d’accéder aux autres représentations. Nous considérons la conceptualisation de la notion de fonction et le développement de compétences relatives à l’outil dans un processus de genèse instrumentale. La genèse instrumentale que nous considérons ici concerne donc le développement conjoint d’usages et de connaissances sur l’environnement et de connaissances mathématiques sur les fonctions.

Contexte

Casyopée comprend deux modules principaux liés : le module symbolique et le module géométrique. Le module symbolique fournit aux élèves des outils de calculs symboliques, des capacités de représentation et ainsi que des aides pour la preuve algébrique. Le module géométrique offre les caractéristiques principales d’un environnement de géométrie dynamique comme la création et l’animation des objets géométriques.

La caractéristique spécifique de Casyopée est la capacité de relier les deux modules avec l’aide des « calculs géométriques » qui permettent de modéliser des dépendances entre grandeurs : créer un calcul géométrique exprimant la valeur d’une grandeur, en explorer les valeurs numériques, choisir une grandeur adéquate comme variable et finalement exporter, dans le module symbolique, une dépendance fonctionnelle, si elle existe, entre cette variable et le calcul géométrique pour obtenir une fonction mathématique exprimant cette dépendance. Le but de Casyopée est donc d’aider les élèves à modéliser des relations de dépendance impliquées dans une situation géométrique donnée, de faciliter les activités sur les fonctions, et finalement de promouvoir une compréhension flexible des fonctions.

Méthodologie

Nous avons suivi une classe durant deux années d’expérimentation. Nous nous sommes plus particulièrement concentrés sur les observations en classe d’un binôme (appelé binôme Elina-Chloé) durant les séances expérimentales. Nous avons choisi le même type de problèmes d’optimisation pour ces observations. La première expérimentation a été implémentée en classe de Première S dans le cadre du projet ReMath. Nous avons ensuite organisé une seconde expérimentation pendant l’année de Terminale S. Toutes les séances expérimentales se sont déroulées à Saint-Malo en France. Nous avons pu observer et suivre de manière précise le travail et les échanges des élèves grâce à l’enregistrement vidéo et audio et à un logiciel de capture d’écran.

Nous considérons la progression des élèves durant les deux expérimentations sous deux aspects : leur utilisation de Casyopée et leurs connaissances mathématiques. Afin d’éclairer cette progression, nous nous appuyons non seulement sur des observations en classe mais encore sur un questionnaire de bilan et un entretien de fin d’année avec des élèves observés et avec l’enseignant. Ce questionnaire d’opinion leur a été donné à la fin de la seconde expérimentation. Il porte sur l’appropriation des fonctionnalités de Casyopée par des élèves et sur l’apport des caractéristiques spécifiques du logiciel pour l’apprentissage des fonctions, notamment pour la modélisation fonctionnelle. Les données recueillies comprennent des notes d’observation, des fichiers vidéo de captures d’écran, des fichiers audio, des productions écrites des élèves et des comptes rendus de l’enseignant. Après les expérimentations, des analyses a posteriori sont confrontées avec une analyse a priori des situations données afin d’en déduire des conclusions. L’analyse de toutes ces données nous permet d’identifier des genèses instrumentales des élèves, leur utilisation de Casyopée et leur compréhension sur les fonctions.

Le scénario de notre première expérimentation se compose de six séances et est organisé en trois parties. Chaque partie a été conçue afin que les élèves apprennent des notions mathématiques en découvrant les capacités associées du système. La seconde expérimentation comprend 4 séances pendant l’année de Terminale S. Nous avons suivi une des classes en Terminale S qui est composée des mêmes élèves observés pendant l’année de Première S. Les interviews avec le binôme Elina-Chloé et l’enseignant ont été réalisées à la fin de l’année après leur épreuve pratique du baccalauréat. Toutes les séances expérimentales se sont déroulées à Saint-Malo en France. Nous avons pu observer et suivre de manière précise le travail et les échanges des élèves grâce à l’enregistrement vidéo et audio et à un logiciel de capture d’écran.

Résumé des résultats d’observation

Les réponses des élèves trouvées dans le questionnaire et dans l’entretien ont montré plusieurs problèmes significatifs concernant l’instrumentation et l’instrumentalisation de Casyopée. Il apparaît clairement que les premiers usages ont été difficiles à cause de la variété des fonctionnalités de Casyopée. Ils confondent une fonction et une fonctionnalité :

On ne connaît pas exactement les différentes fonctions, différents outils qu’il y a dans Casyopée. On obtient des calculs et on ne sait pas comment on a fait pour y arriver : déroulement de calcul. (Elina, questionnaire).

Le logiciel possède plusieurs fonctions, donc parfois on ne sait pas quelle fonction prendre (Marc, questionnaire).

Les élèves ont également rencontré des difficultés relatives à l’artefact mais aussi mathématiques lors de la phase de modélisation fonctionnelle, particulièrement sur l’action de choisir une variable :

La chose la plus dure, c’est le choix de variable. Après, il faut bien choisir la bonne variable (Chloé, entretien).

Ces élèves ont indiqué comment les difficultés ont été dépassées au long de l’expérimentation. Leur maîtrise de Casyopée est justifiée par l’utilisation régulière et l’aide de l’enseignant :

J’ai téléchargé Casyopée sur Google donc je l’utilise quelques fois pour l’entraînement… Au début, j’avais du mal à trouver quelques fonctionnalités pour utiliser mais maintenant c’est bon… Avec l’aide du professeur qui nous explique comment faire pour résoudre certains problèmes (Chloé, questionnaire).

Malgré les difficultés repérées dans les premiers usages, les élèves ont eu à la fin de la deuxième expérimentation des remarques positives par rapport aux caractéristiques spécifiques de Casyopée, notamment la modélisation fonctionnelle et la possibilité de relier dynamiquement les deux fenêtres géométrique et algébrique.

Le choix de variable, je trouve que cela est intéressant… Faire toutes les démarches est super : construction de la figure, tableau de variation, calcul de dérivée… Casyopée est plus rapide et plus commode qu’une calculatrice… On a en même temps le côté géométrique et algébrique du problème… On voit mieux comment une fonction « réagit », c’est pratique et intéressant (Chloé, questionnaire).

Utiliser différentes variables, tracer la figure, visualiser les fonctions (plusieurs en même temps), faire le tableau de signe, trouver la dérivée (Elina, questionnaire).

Les potentialités de Casyopée ont été perçues comme éléments favorables pour l’apprentissage des fonctions car elles ont permis d’aborder le problème de manière spécifique, pratique et intéressante. La genèse instrumentale a créé chez les élèves une motivation à la fin de la deuxième expérimentation et a permis un travail significatif sur ce type de problème.

Discussions

Nous avons considéré dans ce travail de recherche une approche des fonctions via la modélisation fonctionnelle de dépendances géométriques dans un environnement numérique d’apprentissage. Plus précisément, nous nous sommes intéressés aux genèses instrumentales des élèves sur un temps long d’utilisation de l’environnement Casyopée. Les progrès des élèves avec Casyopée peuvent être interprétés comme une genèse instrumentale relativement adéquate, particulièrement en ce qui concerne les fonctionnalités de modélisation de Casyopée et les connaissances mathématiques en jeu. Notre recherche a indiqué chez le binôme observé et chez d’autres élèves un développement conjoint de connaissances mathématiques sur les fonctions et de connaissances sur Casyopée et a montré comment l’utilisation régulière de l’artefact permet aux élèves d’articuler ces deux types de connaissances (Minh, à paraître).

Dans le cadre du projet ReMath, Casyopée a été expérimenté en France et en Italie par des équipes partageant un intérêt pour l’approche instrumentale. Les scénarios produits par les deux équipes diffèrent néanmoins quant à cette approche. Il apparaît que d’autres perspectives théoriques spécifiques à chacune des équipes (comme la théorie des situations didactiques pour la France et la théorie de la médiation sémiotique en Italie) ont fortement orienté les scénarios, influençant la façon dont la genèse instrumentale des élèves est prise en compte. Une autre perspective de recherche examinera la question des apprentissages sur les fonctions sous différents angles théoriques et dans différents contextes.

Références

  • Artigue, M. (2002) Learning mathematics in a CAS environment : The genesis of a reflection about instrumentation and the dialectics between technical and conceptual work. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 7 (3), 245-274.
  • Arzarello, F., & Robutti, O. (2004). Approaching functions through motion experiments. Educational Studies in Mathematics, Special Issue CD Rom.
  • Drijvers, P., Kieran, C., & Mariotti, M. A. (2010). Integrating technology into mathematics education : Theoretical perspectives. In C. Hoyles & J.-B. Lagrange (Eds.), Mathematics Education and Technology – Rethinking the Terrain (pp. 89-132). New York : Springer.
  • Falcade, R., Laborde, C., & Mariotti, M. A. (2007). Approaching functions : Cabri tools as instruments of semiotic mediation. Educational Studies in Mathematics, 66(3), 317-333.
  • Guin, D., Ruthven, K., & Trouche, L. (2005). The Didactical Challenge of Symbolic Calculators : Turning a Computational Device into a Mathematical Instrument. New York : Springer.
  • Lagrange, J.-B. (2005). Curriculum, classroom practices and tool design in the learning of functions through technology-aided experimental approaches. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 10(2), 143-189.
  • Lagrange, J.-B., Gelis, J.-M. (2008). The Casyopée project : a CAS environment for students’ better access to algebra. Int. J. Continuing Engineering Education and Life-Long Learning, 18(5/6), 575-584.
  • Minh, T. K. (à paraître) Les fonctions dans un environnement numérique d’apprentissage : étude des apprentissages des élèves sur deux ans. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education.

[1Representing Mathematics with Digital Media, a Target European Project (IST4-26751)


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